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Text File  |  2022-08-26  |  877b  |  58 lines
  1.  
  2.        DIOPHANTINE EQUATIONS
  3.  
  4.  
  5.  
  6.   Equations whose solutions are
  7.  
  8. restricted to integers are known as
  9.  
  10. diophantine equations.  Diophantus
  11.  
  12. (circa 275 BC) solved quadratic
  13.  
  14. equations in one variable and
  15.  
  16. discarded all but the positive
  17.  
  18. rational solutions.
  19.  
  20.  A linear equation in two variables
  21.  
  22.             AX + BY = C
  23.  
  24. is easy to solve over the real
  25.  
  26. numbers. In fact, except for some
  27.  
  28. degenerate cases, there are infinitely
  29.  
  30. many real pairs X, Y in the solution
  31.  
  32. set.  Its graph forms a straight line.
  33.  
  34.  A linear diophantine equation in two
  35.  
  36. variables is an equation of the form
  37.  
  38.             AX + BY = C
  39.  
  40. where A,B, and C are integers AND the
  41.  
  42. solutions X, Y must also be integers.
  43.  
  44.  
  45.   The existence of integer solutions
  46.  
  47. to the equation is not guaranteed.
  48.  
  49. In fact, it is possible for such
  50.  
  51. equations to have no integer
  52.  
  53. solutions.
  54.  
  55. --------------------------------------
  56.  
  57.  
  58.